3896. Медианы AM
и CN
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Известно, что \angle BAC=\alpha
, \angle BCA=\beta
, AC=b
. Найдите расстояние от точки O
до прямой AC
.
Ответ. \frac{b\sin\alpha\sin\beta}{3\sin(\alpha+\beta)}
.
Указание. Искомое расстояние равно трети высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины B
.
Решение. Пусть L
и H
— проекции точек соответственно O
и B
на прямую AC
, K
— середина AC
.
Из прямоугольных треугольников ABH
и CBH
находим, что AH=BH\ctg\alpha
и CH=BH\ctg\beta
. Поскольку
b=AC=AH+CH=BH\ctg\alpha+BH\ctg\beta=BH(\ctg\alpha+\ctg\beta),
то BH=\frac{b}{\ctg\alpha+\ctg\beta}
.
Поскольку BK
— также медиана треугольника ABC
, то точка O
лежит на отрезке BK
и делит его в отношении 2:1
, считая от точки B
.
Из подобия треугольников OLK
и BHK
следует, что
OL=BH\cdot\frac{OK}{BK}=\frac{1}{3}BH=\frac{1}{3}\cdot\frac{b}{\ctg\alpha+\ctg\beta}=\frac{b\sin\alpha\sin\beta}{3\sin(\alpha+\beta)}.