3897. На отрезке AB
взята точка C
, отрезки AB
и CB
служат диаметрами окружностей. Хорда AM
касается меньшей окружности в точке D
. Прямая BD
пересекает большую окружность в точке N
, \angle DAB=\alpha
, AB=2R
. Найдите площадь четырёхугольника ABMN
.
Ответ. R^{2}\cos\alpha(1+\sin\alpha)
.
Указание. Пусть O
— центр окружности с диаметром BC
. Тогда OD\parallel BM
. Далее воспользуйтесь формулой площади четырёхугольника через диагонали и угол между ними.
Решение. Пусть O
— центр окружности с диаметром BC
. Поскольку BM\perp AM
(точка M
лежит на окружности с диаметром AB
) и OD\perp AM
(радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной), то BM\parallel OD
.
Отсюда следует, что \angle OBD=\angle ODB=\angle MBD
, т. е. BD
— биссектриса угла ABM
, равного 90^{\circ}-\alpha
. Значит,
\angle ABN=\frac{1}{2}\angle ABM=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Поэтому
BN=AB\cdot\cos\angle ABN=2R\cos(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}).
Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
AM=AB\cdot\cos\angle BAM=2R\cos\alpha.
Поскольку ADN
— внешний угол треугольника ADB
, то
\angle ADN=\angle BAD+\angle ABN=\alpha+45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S_{ABMN}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BN\cdot\sin\angle ADN=\frac{1}{2}\cdot2R\cos\alpha\cdot2R\cos(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})\cdot\sin(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})=
=2R^{2}\cdot\frac{1}{2}(\sin90^{\circ}+\sin\alpha)=R^{2}\cos\alpha(1+\sin\alpha).