3898. В окружности радиуса \sqrt{19}
проведены хорды AB
, CD
, EF
. Хорды AB
и CD
пересекаются в точке K
, хорды CD
и EF
пересекаются в точке L
, а хорды AB
и EF
пересекаются в точке M
, причём AM=BK
, CK=DL
, LF=3
, ML=2
. Найдите величину угла CKB
, если известно, что он тупой.
Ответ. \frac{5\pi}{6}
, \pi-\arcsin\frac{1}{4}
.
Указание. Рассмотрите возможные расположения точки M
по отношению к точкам E
, F
и L
; примените теорему о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд; докажите, что центр описанной окружности треугольника KLM
совпадает с центром данной окружности.
Решение. Пусть точка M
лежит между E
и L
(рис. 1). Тогда MF=ML+LF=2+3=5
.
Обозначим EM=a
Из теоремы о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд следует, что
5a=x(x+t)=y(y+z)=3(a+2).
Отсюда находим, что EM=a=3=LF
.
Тогда перпендикуляры, опущенные из центра O
окружности на хорды AB
, CD
и EF
, проходят через середины сторон треугольника MKL
. Значит, точка O
— центр окружности, описанной около треугольника KLM
.
Пусть H
— проекция точки O
на EF
. Из прямоугольных треугольников OHF
и OHL
находим, что
OH^{2}=OF^{2}-HF^{2}=19-16=3,~OL^{2}=OH^{2}+LH^{2}=3+1=4.
Следовательно, радиус r
описанной окружности треугольника KLM
равен 2. Поэтому
\sin\angle CKB=\sin\angle MKL=\frac{ML}{2r}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
а так как угол CKB
— тупой, то он равен 150^{\circ}
.
Пусть точка M
лежит между F
и L
(рис. 2). Обозначим EL=a
. Тогда
MF=LF-LM=3-2=1,~3a=y(y+z)=x(x+t)=1(a+2),~EL=a=1=MF.
Далее, рассуждая так же, как в первом случае, получим, что r=4
. Тогда
\sin\angle CKB=\sin\angle MKL=\frac{ML}{2r}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4},
а так как угол CKB
— тупой, то он равен 180^{\circ}-\arcsin\frac{1}{4}
.
Заметим, что все остальные возможные случаи расположения точек K
, L
и M
на соответствующих хордах дают те же величины углов.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1998 (май), вариант 1, № 5