3900. Диаметр AB
и хорда CD
окружности пересекаются в точке E
, причём CE=DE
. Касательные к окружности в точках B
и C
пересекаются в точке K
. Отрезки AK
и CE
пересекаются в точке M
. Найдите площадь треугольника CKM
, если AB=10
, AE=1
.
Ответ. \frac{27}{4}
.
Указание. Высота треугольника CKM
равна отрезку BE
. Вычислите тангенс угла CAE
и рассмотрите подобные треугольники AME
и AKB
.
Решение. По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд CE\cdot ED=AE\cdot EB
, или CE^{2}=1\cdot9=9
. Поэтому CE=3
.
Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде, поэтому CE\perp AB
.
Пусть O
— центр окружности. Обозначим \angle AOC=\alpha
. Из равнобедренного треугольника AOC
находим, что \angle CAO=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
.
Поскольку \angle BOC=180^{\circ}-\alpha
, а KO
— биссектриса угла BOC
, то
\angle BOK=\frac{1}{2}\angle BOC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Поэтому \angle OKB=90^{\circ}-\angle BOK=\frac{\alpha}{2}
.
Из прямоугольного треугольника AEC
находим, что
\ctg\frac{\alpha}{2}=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\tg\angle CAO=\frac{CE}{AE}=3.
Поэтому
BK=OB\cdot\ctg\angle OKB=5\ctg\frac{\alpha}{2}=5\cdot3=15.
Из подобия прямоугольных треугольников AME
и AKB
следует, что
ME=KB\cdot\frac{AE}{AB}=15\cdot\frac{1}{10}=\frac{3}{2}.
Значит, CM=CE-ME=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}
.
Следовательно,
S_{\triangle CKM}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot BE=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot9=\frac{27}{4}.