3914. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
длина стороны AD
равна 4, длина стороны CD
равна 7, косинус угла ADC
равен \frac{1}{2}
, синус угла BCA
равен \frac{1}{3}
. Найдите сторону BC
, если известно, что окружность, описанная около треугольника ABC
, проходит также и через точку D
.
Ответ. \frac{\sqrt{37}}{3\sqrt{3}}(\sqrt{24}-1)
.
Указание. Примените теорему косинусов к треугольнику ADC
и теорему синусов к треугольнику ABC
.
Решение. Поскольку \cos\angle ADC=\frac{1}{2}
, то \angle ADC=60^{\circ}
, а так как четырёхугольник ABCD
— вписанный, то \angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=120^{\circ}
.
По теореме косинусов
AC=\sqrt{DA^{2}+DC^{2}-2\cdot DA\cdot DC\cdot\cos\angle ADC}=\sqrt{16+49-2\cdot4\cdot7\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{37}.
Обозначим \angle ACB=\alpha
. Заметим, что угол ACB
— острый (так как угол ABC
— тупой). Поэтому
\cos\angle ACB=\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
По теореме синусов
\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin\angle ABC},~\mbox{или}~\frac{BC}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
Отсюда находим, что
BC=\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\sin(60^{\circ}-\alpha)=\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot(\sin60^{\circ}\cos\alpha-\cos60^{\circ}\sin\alpha)=
=\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\right)=\frac{\sqrt{37}}{3\sqrt{3}}(\sqrt{24}-1).
Источник: Вступительный экзамен на социологический факультет МГУ. — 1998, вариант 1, № 4