3916. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ. 6.
Указание. Если M
— точка касания вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC
с основанием AC
, а O
— центр этой окружности, то OM=AM\cdot\tg\frac{1}{2}\angle BAC
.
Решение. Пусть окружность с центром O
вписана в равнобедренный треугольник ABC
, боковые стороны которого AB=BC=20
, а диаметр d
описанной окружности равен 25, M
— точка касания вписанной окружности с основанием AC
.
Поскольку треугольник ABC
— равнобедренный, то точка O
лежит на его биссектрисе BM
, которая является также высотой и медианой. Поэтому OM
— искомый радиус вписанной окружности.
Обозначим, \angle BAC=\angle ACB=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{BC}{d}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5},
а так как треугольник равнобедренный, то угол при его основании — острый, поэтому
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.
Из уравнения
\frac{3}{5}=\cos\alpha=\frac{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
находим, что \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
.
Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
AM=AB\cdot\cos\alpha=20\cdot\frac{3}{5}=12.
Поскольку AO
— биссектриса треугольника AMB
, то
OM=AM\cdot\tg\frac{\alpha}{2}=12\cdot\frac{1}{2}=6.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1997 (март), вариант 1, № 4