3920. На сторонах острого угла с вершиной O
взяты точки A
и B
. На луче OB
взята точка M
на расстоянии 3OA
от прямой OA
, а на луче OA
— точка N
на расстоянии 3OB
от прямой OB
. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB
, равен 3. Найдите MN
.
Ответ. 18.
Указание. Из подобия треугольников AOB
и NOM
следует, что \angle ONM=\angle OBA
и \angle OMN=\angle OAB
.
Решение. Пусть M_{1}
и N_{1}
— проекции точек M
и N
на прямые OA
и OB
соответственно, R=3
— радиус окружности, описанной около треугольника AOB
. Обозначим OB=a
, OA=b
, \angle OAB=\alpha
, \angle OBA=\beta
. Из условия задачи следует, что MM_{1}=3OA=3b
, NN_{1}=3OB=3a
.
Из теоремы синусов следует, что
\sin\alpha=\frac{OB}{2R}=\frac{a}{6}~\mbox{и}~\sin\beta=\frac{OA}{2R}=\frac{b}{6}.
Прямоугольные треугольники ONN_{1}
и OMM_{1}
с общим углом при вершине O
подобны, поэтому
\frac{ON}{OM}=\frac{NN_{1}}{MM_{1}}=\frac{3a}{3b}=\frac{a}{b}=\frac{OB}{OA}.
Значит, треугольники AOB
и MON
подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \angle OMN=\angle OAB=\alpha
и \angle ONM=\angle OBA=\beta
.
Обозначим MN=x
. Из прямоугольных треугольников NM_{1}M
и MN_{1}N
находим, что
\frac{3b}{x}=\frac{MM_{1}}{MN}=\sin\angle ONM=\sin\beta~\mbox{и}~\frac{3a}{x}=\frac{MN_{1}}{MN}=\sin\angle OMN=\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{3b}{x}=\frac{a}{6}~\mbox{и}~\frac{3a}{x}=\frac{b}{6}.
Перемножив почленно эти равенства, получим уравнение
\frac{9ab}{x^{2}}=\frac{ab}{36},
откуда находим, что x=18
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1997 (май), вариант 1, № 6