3930. Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB
треугольника ABC
равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC
, опущенную на сторону AB
, если она меньше \sqrt{\frac{3}{2}}
, а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.
Ответ. 3\sqrt{\frac{3}{19}}
.
Указание. Если вершина C
и центр описанной окружности данного треугольника ABC
расположены по одну сторону от прямой AB
, то \angle ACB=60^{\circ}
, а если — по разные, то \angle ACB=120^{\circ}
Решение. Пусть O
центр окружности радиуса R
, описанной около треугольника ABC
, CH
— высота треугольника, OM=\frac{1}{2}R
— перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону AB
, AC=2
, BC=3
.
В прямоугольном треугольнике OMB
катет OM
вдвое меньше гипотенузы OB=R
. Значит, \angle OBM=30^{\circ}
. Тогда \angle AOB=120^{\circ}
.
Если точки O
и C
расположены по одну сторону от прямой AB
(рис. 1), то \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=60^{\circ}
(вписанный угол равен половине соответствующего центрального).
По теореме косинусов
AB=\sqrt{CA^{2}+CB^{2}-2\cdot CA\cdot CB\cos60^{\circ}}=\sqrt{4+9-6}=\sqrt{7}.
Поскольку
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{7}\cdot CH~\mbox{и}~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB\cdot\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},
то
\frac{1}{2}\cdot\sqrt{7}\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Отсюда находим, что CH=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
.
Поскольку
CH=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\gt\sqrt{\frac{3}{2}}~\Leftarrow~3\sqrt{2}\gt\sqrt{7}~\Leftarrow~18\gt7,
то найденное значение высоты не удовлетворяет условию задачи.
Пусть точки O
и C
расположены по разные стороны от прямой AB
(рис. 2). Тогда
\angle ACB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
AB=\sqrt{CA^{2}+CB^{2}-2\cdot CA\cdot CB\cos120^{\circ}}=\sqrt{4+9+6}=\sqrt{19}.
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{19}\cdot CH~\mbox{и}~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB\cdot\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},
\frac{1}{2}\cdot\sqrt{19}\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Отсюда находим, что CH=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}
. Поскольку при этом
CH=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\lt\sqrt{\frac{3}{2}}~\Leftarrow~3\sqrt{2}\lt\sqrt{19}~\Leftarrow~18\lt19,
то найденное значение высоты удовлетворяет условию задачи.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1997 (май), вариант 1, № 5