3934. В ромб, одна из диагоналей которого равна 10, вписан круг радиуса 3. Вычислите площадь части ромба, расположенной вне круга. Будет ли эта площадь больше 9? (Ответ обосновать.)
Ответ. \frac{75}{2}-9\pi\gt9
.
Указание. Диагонали разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Решение. Пусть вписанная в ромб ABCD
окружность с центром O
радиуса r=3
касается стороны AB
в точке M
, а диагональ AC=10
. Тогда OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
AM=\sqrt{AO^{2}-OM^{2}}=\sqrt{25-9}=4,~AB=\frac{AO^{2}}{AM}=\frac{25}{4}.
Тогда
S_{ABCD}=4\cdot S_{\triangle AOB}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OM=2\cdot\frac{25}{4}\cdot3=\frac{75}{2}.
Пусть S_{1}
— площадь круга, S
— искомая часть площади ромба. Тогда
S=S_{ABCD}-S_{1}=\frac{75}{2}-\pi r^{2}=\frac{75}{2}-9\pi.
Поскольку \pi\lt3{,}15
, то 9\pi\lt28{,}35
. Следовательно,
\frac{75}{2}-9\pi\gt\frac{75}{2}-28{,}35=37{,}5-28{,}35=9{,}15\gt9.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1997 (май), вариант 1, № 6