3936. В треугольнике FGH
угол G
прямой, FG=8
, GH=2
. Точка D
лежит на стороне FH
, A
и B
— точки пересечения медиан треугольников FGD
и DGH
. Найдите площадь треугольника GAB
.
Ответ. \frac{16}{9}
.
Указание. Пусть GC
и GE
— медианы треугольников GDF
и GDH
соответственно. Тогда треугольник GAB
подобен треугольнику GCE
с коэффициентом \frac{2}{3}
.
Решение. Пусть GC
и GE
— медианы треугольников GDF
и GDH
соответственно. Поскольку медианы треугольника делится точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины, то \frac{GA}{GC}=\frac{GB}{GE}=\frac{2}{3}
. Поэтому треугольник GAB
подобен треугольнику GCE
с коэффициентом k=\frac{2}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle GAB}=k^{2}\cdot S_{\triangle GCE}=\frac{4}{9}(S_{\triangle CGD}+S_{\triangle EGD})=\frac{4}{9}\left(\frac{1}{2}\cdot S_{\triangle FGD}+\frac{1}{2}\cdot S_{\triangle DGH}\right)=
=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}(S_{\triangle FGD}+S_{\triangle DGH})=\frac{2}{9}\cdot S_{\triangle FGH}=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}\cdot GH\cdot GF=\frac{1}{9}\cdot2\cdot8=\frac{16}{9}.