3938. Две окружности радиусов r
и p
(r\lt p
) касаются внешним образом, а также обе касаются внутренним образом окружности радиуса R
. Известно, что треугольник с вершинами в центрах окружностей является равнобедренным, а угол между боковыми сторонами больше \frac{\pi}{3}
. Найдите длину основания этого треугольника.
Ответ. R-r
.
Указание. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Решение. Пусть окружность с центром O_{1}
радиуса r
и окружность с центром O_{2}
радиуса p
касаются между собой в точке C
, а окружности с центром O
радиуса R
— в точках A
и B
соответственно.
Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, то O_{1}O_{2}=r+p
, OO_{1}=R-r
, OO_{2}=R-p
.
Стороны OO_{1}=R-r
и OO_{2}=R-p
не могут быть боковыми, так как тогда R-r=R-p~\Rightarrow~r=p
, что противоречит условию r\lt p
. Поэтому одной из боковых сторон является сторона O_{1}O_{2}=r+p
.
Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника O_{1}OO_{2}
больше 60^{\circ}
. Значит, углы при основании — меньше 60^{\circ}
. Поскольку против большего угла треугольника лежит большая сторона, то основание равнобедренного треугольника O_{1}OO_{2}
равно наибольшей из величин R-r
и R-p
, а так как r\lt p
, то R-r\gt R-p
. Значит, OO_{1}=R-r
— наибольшая сторона треугольника O_{1}OO_{2}
.
Следовательно, основание треугольника равно R-r
.