3940. Дан четырёхугольник ABCD
. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
подобен четырёхугольнику ABCD
.
Решение. Пусть M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
и M_{d}
— точки пересечения медиан треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
соответственно, K
— середина стороны BC
. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины, поэтому KM_{a}=\frac{1}{3}KD
и KM_{d}=\frac{1}{3}KA
. Значит, M_{a}M_{d}\parallel AD
и M_{a}M_{d}=\frac{1}{3}AD
. Аналогично
M_{a}M_{b}\parallel AB,~M_{a}M_{b}=\frac{1}{3}AB,~M_{c}M_{d}\parallel CD,~M_{c}M_{d}=\frac{1}{3}CD,~
M_{b}M_{c}\parallel BC,~M_{b}M_{c}=\frac{1}{3}BC.
Следовательно, четырёхугольник M_{a}M_{b}M_{c}M_{d}
подобен четырёхугольнику ABCD
(все соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны), причём коэффициент подобия равен \frac{1}{3}
.
Примечание. Верно следующее более общее утверждение. Пусть A_{1}A_{2}\dots A_{n}
— произвольный многоугольник, а M_{1}
, M_{2}
, …, M_{n}
— центроиды многоугольников A_{2}A_{3}\dots A_{n}
, A_{1}A_{3}\dots A_{n}
, …, A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}
соответственно. Тогда многоугольник M_{1}M_{2}\dots M_{n}
подобен многоугольнику A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, причём коэффициент подобия равен \frac{1}{n-1}
. (См. И.С.Соминский, Л.И.Головина, И.М.Яглом. О математической индукции. М., «Наука», 1967, с.87.)