3941. В некоторый угол B
вписаны две непересекающиеся окружности. Окружность большего радиуса касается сторон этого угла в точках A
и C
, меньшего — в точках A_{1}
и C_{1}
(точки A
, A_{1}
и C
, C_{1}
лежат на разных сторонах угла B
). Прямая AC_{1}
пересекает окружности большего и меньшего радиусов в точках E
и F
соответственно. Найдите отношение площадей треугольников ABC_{1}
и A_{1}BC_{1}
, если A_{1}B=2
, EF=1
, а длина AE
равна среднему арифметическому длин BC_{1}
и EF
.
Ответ. 1+\sqrt{\frac{5}{2}}
.
Указание. С помощью теоремы о касательной и секущей докажите, что AE=FC_{1}
.
Решение. Поскольку BC_{1}=A_{1}B=2
, то
AE=\frac{BC_{1}+EF}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}.
Из теоремы о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что CC_{1}=AA_{1}
.
Из точки A
проведены к меньшей окружности касательная AA_{1}
и секущая AFC_{1}
. По теореме о касательной и секущей AF\cdot AC_{1}=AA_{1}^{2}
.
Из точки C_{1}
проведены к большей окружности касательная C_{1}C
и секущая C_{1}EA
. Поэтому C_{1}E\cdot AC_{1}=C_{1}C^{2}
.
Поскольку CC_{1}=AA_{1}
, то AF\cdot AC_{1}=C_{1}E\cdot AC_{1}
. Поэтому AF=C_{1}E
. Значит,
C_{1}F=AE=\frac{3}{2},~AA_{1}=\sqrt{AC_{1}\cdot AF}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}+1+\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}+1\right)}=\sqrt{10}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC_{1}}}{S_{\triangle A_{1}BC_{1}}}=\frac{AB}{A_{1}B}=\frac{\sqrt{10}+2}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}+1=\sqrt{\frac{5}{2}}+1.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1997 (июль), вариант 1, № 5