3942. Касательная, проведённая через вершину C
вписанного в окружность треугольника ABC
, пересекает продолжение стороны AB
за вершину B
в точке D
. Известно, что радиус окружности равен 2, AC=\sqrt{12}
и \angle CDA+\angle ACB=2\angle BAC
. Найдите секущую AD
.
Ответ. AD=\frac{3}{\sin15^{\circ}}
или AD=\frac{3}{\sin75^{\circ}}
.
Указание. Из теоремы синусов следует, что \angle ABC=60^{\circ}
или \angle ABC=120^{\circ}
. Применив теорему об угле между касательной и хордой, докажите, что \angle BAC=45^{\circ}
. Далее найдите остальные углы треугольника ADC
и воспользуйтесь теоремой синусов.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
, \angle CDA=\varphi
. Пусть R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда
\sin\beta=\sin\angle ABC=\frac{AC}{2R}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Поэтому \beta=60^{\circ}
или \beta=120^{\circ}
.
По теореме об угле между касательной и хордой \angle BCD=\angle BAC=\alpha
. По условию задачи \gamma=2\alpha-\varphi
, а так как по теореме о внешнем угле треугольника \beta=\varphi+\alpha
, то, подставив выражения для \gamma
и \beta
в равенство \beta+\gamma+\alpha=180^{\circ}
, получим уравнение относительно \alpha
: 4\alpha=180^{\circ}
, откуда найдём, что \alpha=45^{\circ}
.
Если \beta=60^{\circ}
, то
\varphi=\beta-\alpha=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ},~\gamma=75^{\circ},~\angle ACD=\alpha+\gamma=120^{\circ}.
По теореме синусов
\frac{AD}{\sin\angle ACD}=\frac{AC}{\sin\angle ADC},~\mbox{или}~\frac{AD}{\sin120^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin15^{\circ}}.
Следовательно,
AD=\frac{2\sqrt{3}}{\sin15^{\circ}}\cdot\sin120^{\circ}=\frac{3}{\sin15^{\circ}}.
Если \beta=120^{\circ}
, то аналогично найдём, что AD=\frac{3}{\sin75^{\circ}}
.