3945. В треугольнике PQR
со стороной PQ=3
из вершины P
к стороне QR
проведены медиана PM=\sqrt{14}
и высота PH=\sqrt{5}
. Найдите сторону PR
, если известно, что \angle QPR+\angle PRQ\lt90^{\circ}
.
Ответ. PR=\sqrt{21}
.
Указание. Докажите, что точка P
лежит на продолжении стороны RQ
за точку Q
. Далее примените теорему Пифагора.
Решение. Поскольку \angle QPR+\angle PRQ\lt90^{\circ}
, то \angle PQR=180^{\circ}-\angle QPR-\angle PRQ\gt90^{\circ}
, т. е. угол PQR
— тупой. Значит, основание H
высоты PH
лежит на продолжении стороны RQ
за точку Q
.
Из прямоугольных треугольников PHQ
и PHM
находим, что
HQ=\sqrt{PQ^{2}-PH^{2}}=\sqrt{9-5}=2,~MH=\sqrt{PM^{2}-PH^{2}}=\sqrt{14-5}=3.
Тогда MQ=MH-HQ=3-2=1
, а так как M
— середина стороны QR
, то QR=2MQ=2
, а RH=RQ+QH=4
.
Следовательно,
PR=\sqrt{PH^{2}+RH^{2}}=\sqrt{5+16}=\sqrt{21}.