3946. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A
. Через точку B
на их общей касательной AB
проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M
и N
, а другая вторую окружность в точках P
и Q
. Известно, что AB=6
, BM=9
, BP=5
. Найдите отношение площадей треугольников MNO
и PQO
, где точка O
— точка пересечения прямых MP
и NQ
.
Ответ. \frac{625}{121}
.
Указание. Докажите, что точки M
, N
, P
и Q
лежат на одной окружности. Отсюда следует, что треугольники MNO
и QPO
подобны.
Решение. Заметим, что точка N
лежит между B
и M
, а точка P
— между B
и Q
. По теореме о касательной и секущей BN\cdot BM=AB^{2}=BP\cdot BQ
. Следовательно, точки M
, N
, P
и Q
лежат на одной окружности.
(Действительно, из равенства BN\cdot BM=BP\cdot BQ
следует равенство \frac{BN}{BP}=\frac{BQ}{BM}
. Значит, треугольники BPN
и BMQ
подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \angle BPN=\angle BMQ
. Тогда \angle NMQ+\angle NPQ=180^{\circ}
, а это означает, что четырёхугольник MNPQ
— вписанный.)
Хорды MP
и NQ
пересекаются в точке O
. Значит, треугольник MNO
подобен треугольнику QPO
по двум углам (\angle OMN=\angle OQP
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), причём коэффициент подобия k
равен \frac{MN}{PQ}
.
Из равенств BN\cdot BM=AB^{2}
и BP\cdot BQ=AB^{2}
находим, что
BN=\frac{AB^{2}}{BM}=\frac{36}{9}=4~\mbox{и}~BQ=\frac{AB^{2}}{BP}=\frac{36}{5}.
Тогда
MN=BM-BN=9-4=5~\mbox{и}~PQ=BQ-BP=\frac{36}{5}-5=\frac{11}{5}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle MNO}}{S_{\triangle PQO}}=k^{2}=\left(\frac{MN}{PQ}\right)^{2}=\left(\frac{5}{\frac{11}{5}}\right)^{2}=\frac{625}{121}.