3948. В треугольнике ABC
длина AB
равна 4, длина BC
равна 5. Из вершины B
проведён отрезок BM
(M\in AC
), причём \angle ABM=45^{\circ}
и \angle MBC=30^{\circ}
.
а) В каком отношении точка M
делит сторону AC
?
б) Вычислите длины отрезков AM
и MC
.
Ответ. а) \frac{4\sqrt{2}}{5}
;
б) \frac{4\sqrt{2}\sqrt{41-10\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}}{4\sqrt{2}+5}
, \frac{5\sqrt{41-10\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}}{4\sqrt{2}+5}
.
Указание. Пусть P
и Q
— проекции точек соответственно A
и B
на прямую BM
. Прямоугольные треугольники APM
и CQM
подобны.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точек соответственно A
и B
на прямую BM
. Из прямоугольных треугольников APB
и CQB
находим, что
AP=AB\cdot\sin45^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2},~CQ=BC\cdot\sin30^{\circ}=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.
Прямоугольные треугольники APM
и CQM
подобны. Следовательно,
\frac{AM}{CM}=\frac{AP}{CQ}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}.
По теореме косинусов
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos75^{\circ}}=\sqrt{16+25-2\cdot4\cdot5\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=
=\sqrt{41-10(\sqrt{6}-\sqrt{2})}.
Следовательно,
AM=AC\cdot\frac{AM}{AC}=AC\cdot\frac{AM}{AM+MC}=\sqrt{41-10(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}+5}=
=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{41-10\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}}{4\sqrt{2}+5},
CM=AC\cdot\frac{CM}{AC}=AC\cdot\frac{CM}{AM+CM}=\sqrt{41-10(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\cdot\frac{5}{4\sqrt{2}+5}=
=\frac{5\sqrt{41-10\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}}{4\sqrt{2}+5}.
Источник: Вступительный экзамен на социологический факультет МГУ. — 1997, вариант 1, № 2