3961. В четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность. Пусть K
— точка пересечения его диагоналей. Известно, что BC\gt AB\gt BK
, KC=\sqrt{7}-1
, косинус угла KBC
равен \frac{\sqrt{7}+1}{4}
, а периметр треугольника BKC
равен 2\sqrt{7}+4
. Найдите DC
.
Ответ. 4.
Решение. Обозначим \angle KBC=\alpha
, BK=x
, BC=y
. Пусть P=2\sqrt{7}+4
— периметр треугольника BKC
. Тогда
x+y=P-KC=2\sqrt{7}+4-(\sqrt{7}-1)=5+\sqrt{7}.
По теореме косинусов
KC^{2}=BK^{2}+BC^{2}-2\cdot BK\cdot BC\cdot\cos\alpha,~\mbox{или}~(\sqrt{7}-1)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cdot\frac{\sqrt{7}+1}{4}.
Поскольку
x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=(5+\sqrt{7})^{2}-2xy=32+10\sqrt{7}-2xy,
то из второго из полученных уравнений находим, что
xy=\frac{24(2+\sqrt{7})}{5+\sqrt{7}}=4(1+\sqrt{7}).
Из системы
\syst{x+y=5+\sqrt{7}\\xy=4(1+\sqrt{7})\\x\lt y}
находим, что x=1+\sqrt{7}
, y=4
. Значит, BK=x=1+\sqrt{7}
, BC=4
.
Поскольку
BK^{2}+KC^{2}=(1+\sqrt{7})^{2}+(\sqrt{7}-1)^{2}=16=BC^{2},
то треугольник BKC
— прямоугольный, \angle BKC=90^{\circ}
. Значит, диагонали четырёхугольника ABCD
перпендикулярны.
Докажем, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.
Действительно, пусть диагонали AC
и BD
такого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке K
. По теореме Пифагора
AB^{2}+CD^{2}=(KA^{2}+KB^{2})+(KC^{2}+KD^{2})=
=(KA^{2}+KD^{2})+(KB^{2}+KC^{2})=AD^{2}+BC^{2}.
Пусть для четырёхугольника ABCD
из нашей задачи AB=a
, BC=y
, CD=c
и AD=d
. Поскольку в него можно вписать окружность, то a+c=y+d
. Кроме того, по доказанному a^{2}+c^{2}=y^{2}+d^{2}
. Тогда
\syst{a+c=y+d\\a^{2}+c^{2}=y^{2}+d^{2}\\y\gt a}\Leftrightarrow\syst{a-y=d-c\\a^{2}-y^{2}=d^{2}-c^{2}\\y\gt a}\Leftrightarrow\syst{a-y=d-c\\(a-y)(a+y)=(d-c)(d+c)\\y\gt a}\Leftrightarrow
\syst{a-y=d-c\\(a-y)(a+y)=(a-y)(d+c)\\y\gt a}\Leftrightarrow\syst{a-y=d-c\\a+y=d+c\\y\gt a}\Leftrightarrow\syst{a=d\\y=c\\y\gt a.}
Следовательно, CD=c=y=BC=4
.
Применив теорему косинусов, найдите стороны треугольника BKC
. Докажите, что AC\perp BD
. Докажите также, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.