3965. Докажите, что для любого треугольника ABC
верны равенства:
а) BC=AB\cos B+AC\cos C
;
б) BC=AD(\ctg B+\ctg C)
, где AD
— высота треугольника ABC
.
Решение. Пусть основание D
высоты AD
лежит на стороне BC
. Тогда
BC=BD+CD=AB\cos B+AC\cos C,~
BC=BD+CD=AD\ctg B+AD\ctg C=AD(\ctg B+\ctg C).
Если точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку C
, то
BC=BD-CD=AB\cos B-AC\cos(180^{\circ}-C)=AB\cos B+AC\cos C,
BC=BD-CD=AD\ctg B-AD\ctg(180^{\circ}-C)=AD(\ctg B+\ctg C).
Аналогично для случая, когда точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
.
Если точка D
совпадает с точкой B
или C
, утверждение очевидно.