3966. Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Докажите, что
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}R\cdot(BC\cos A+AC\cos B+AB\cos C).
Решение. Пусть треугольник ABC
остроугольный (рис. 1). Тогда центр O
его описанной окружности лежит внутри треугольника, поэтому, если M
— середина стороны BC
, то
\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle A,~OM=OB\cos\angle BOM=R\cos A,
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot OM=\frac{1}{2}BC\cdot R\cos A.
Аналогично
S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AC\cdot R\cos B,~S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot R\cos C.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}=
=\frac{1}{2}BC\cdot R\cos A+\frac{1}{2}AC\cdot R\cos B+\frac{1}{2}AB\cdot R\cos C=
=\frac{1}{2}R\cdot(BC\cos A+AC\cos B+AB\cos C).
Что и требовалось доказать.
Если, например, угол A
тупой (рис. 2), то формула остаётся верной, так как в этом случае
\angle BOC=360^{\circ}-2\angle BAC,~\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BOC=180^{\circ}-\angle BAC,
OM=R\cos(180^{\circ}-\angle BAC)=-R\cos A,
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot OM=-\frac{1}{2}BC\cdot R\cos A.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}-S_{\triangle BOC}=
=\frac{1}{2}AC\cdot R\cos B+\frac{1}{2}AB\cdot R\cos C-\left(-\frac{1}{2}BC\cdot R\cos A\right)=
=\frac{1}{2}R\cdot(BC\cos A+AC\cos B+AB\cos C).
Если же угол A
прямой, то утверждение очевидно.