3970. В выпуклом четырёхугольнике KLMN
диагонали KM
и LN
перпендикулярны соответственно сторонам MN
и KL
, а сторона KN
равна 4\sqrt{3}
. На стороне KN
расположена точка A
так, что \angle LAK=\angle MAN
. Известно, что \angle MKN-\angle KNL=15^{\circ}
. Найдите длину ломаной LAM
и площадь четырёхугольника KLMN
, если отношение LA:AM=1:\sqrt{3}
.
Ответ. \sqrt{6}(\sqrt{3}+1)
, 3(3+\sqrt{3})
.
Указание. Точка L'
, симметричная точке L
относительно прямой KN
, лежит на окружности, описанной около данного четырёхугольника. Далее примените теорему синусов.
Решение. Поскольку из точек L
и M
отрезок KN
виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром KN
. Пусть продолжение отрезка MA
пересекает эту окружность в точке L'
. Тогда
\angle KAL'=\angle MAN=\angle LAK.
Поэтому луч AL'
симметричен лучу AL
относительно прямой KN
, а так как окружность также симметрична относительно этой прямой, то точка L'
симметрична точке L
относительно KN
. Аналогично докажем, что точка M'
, в которой продолжение отрезка LA
пересекает окружность, симметрична точке M
относительно KN
. Следовательно, KL'=KL
и NM'=NM
, а также равны дуги, стягиваемые этими хордами.
Обозначим \angle KNL=\alpha
. Тогда
\angle MKN=\angle KNL=\alpha+15^{\circ},
\angle MKL'=\angle MKN+\angle L'KN=\angle MKN+\angle LKN=(\alpha+15^{\circ})+(90^{\circ}-\alpha)=105^{\circ}.
Из треугольника KML'
по теореме синусов находим, что
ML'=KN\cdot\sin\angle MKL'=4\sqrt{3}\sin105^{\circ}=\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)
(KN
— диаметр окружности, описанной около этого треугольника). Следовательно,
MA+AL=MA+AL'=ML'=\sqrt{6}(\sqrt{3}+1).
По теореме о вписанных углах, опирающихся на равные дуги
\angle KML'=\angle KML=\angle KNL=\alpha,~\angle NLM'=\angle NLM=\angle NKM=\alpha+15^{\circ},
поэтому
\angle AML=2\alpha,~\angle ALM=2(\alpha+15^{\circ})=2\alpha+30^{\circ}.
Применяя теорему синусов к треугольнику AML
, получим уравнение
\frac{LA}{\sin2\alpha}=\frac{AM}{\sin(2\alpha+30^{\circ})},~\mbox{или}~\frac{1}{\sin2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{\sin(2\alpha+30^{\circ})},
\sqrt{3}\sin2\alpha=\sin(2\alpha+30^{\circ}),~\sqrt{3}\sin2\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha+\frac{1}{2}\cos2\alpha,
\frac{1}{2}\cos2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha=0,~\sin(30^{\circ}-2\alpha)=0.
Поскольку \alpha\lt90^{\circ}
, то 30^{\circ}-2\alpha=0
, откуда находим, что \alpha=15^{\circ}
.
Пусть Q
— точка пересечения диагоналей KM
и LN
четырёхугольника KLMN
. Тогда
\angle KQL=\angle QNK+QKN=\alpha+(\alpha+15^{\circ})=2\alpha+15^{\circ}=45^{\circ}.
Из прямоугольных треугольников KLN
и KMN
находим, что
LN=KN\cos\angle KNL=4\sqrt{3}\cos\alpha=4\sqrt{3}\cos15^{\circ},
KM=KN\cos\angle MKN=4\sqrt{3}\cos(\alpha+15^{\circ})=4\sqrt{3}\cos30^{\circ}.
Следовательно,
S_{KLMN}=\frac{1}{2}LN\cdot KM\sin\angle KQL=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cos15^{\circ}\cdot4\sqrt{3}\cos30^{\circ}\cdot\sin45^{\circ}=
=24\sin45^{\circ}\cos15^{\circ}\cos30^{\circ}=6\sqrt{3}(\sin60^{\circ}+\sin30^{\circ})=3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=9+3\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2004 (март), вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 38