3974. В треугольнике ABC
биссектрисы пересекаются в точке O
. Прямая AO
пересекается с окружностью, описанной около треугольника OBC
, в точках O
и M
. Найдите OM
, если BC=2
, а угол A
равен 30^{\circ}
.
Ответ. 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})
.
Указание. Докажите, что OM
— диаметр указанной окружности.
Решение. Пусть M'
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
. Тогда \angle OBM'=\angle OCM'=90^{\circ}
. Значит, около четырёхугольника OBM'C
можно описать окружность, причём OM'
— диаметр этой окружности. Окружность, описанная около треугольника OBC
, совпадает с описанной окружностью четырёхугольника OBM'C
, так как около треугольника можно описать единственную окружность. Поэтому точка M'
совпадает с точкой M
.
Если R
— радиус окружности, то OM=2R
. Из теоремы синусов следует, что
OM=2R=\frac{BC}{\sin\angle BOC}=\frac{BC}{\sin\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right)}=\frac{2}{\sin105^{\circ}}=
=\frac{2}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2(\sqrt{6}-\sqrt{2}).