3975. Отрезок AB
является диаметром окружности. Вторая окружность с центром в точке B
имеет радиус, равный 2, и пересекается с первой окружностью в точках C
и D
. Хорда CE
второй окружности является частью касательной к первой окружности и равна 3. Найдите радиус первой окружности.
Ответ. \frac{4}{\sqrt{7}}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из точки B
на хорду CE
. Примените теорему об угле между касательной и хордой.
Решение. Пусть M
— проекция точки B
на хорду CE
второй окружности. Тогда M
— середина CE
. Обозначим \angle BCM=\alpha
. Из прямоугольного треугольника BMC
находим, что
\cos\alpha=\frac{CM}{BC}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}.
Тогда
\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BAC=\angle BCM=\alpha
.
Пусть R
— искомый радиус первой окружности. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{2}{2\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{7}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2004 (июль), устный экзамен
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 52