3976. В параллелограмме ABCD
угол между диагоналями AC
и BD
равен 30^{\circ}
. Известно отношение AC:BD=2:\sqrt{3}
. Точка B_{1}
симметрична вершине B
относительно прямой AC
, а точка C_{1}
симметрична вершине C
относительно прямой BD
. Найдите отношение площадей треугольника AB_{1}C_{1}
и параллелограмма ABCD
.
Ответ. \frac{1}{4}
или \frac{5}{4}
.
Указание. Рассмотрите два случая: \angle AOB=30^{\circ}
и \angle BOC=30^{\circ}
. Примените теорему косинусов.
Решение. Положим AO=2a
. Тогда BO=a\sqrt{3}
,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4a\cdot2a\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=2a^{2}\sqrt{3}.
Пусть \angle AOB=30^{\circ}
(рис. 1). По теореме косинусов из треугольника AOB
находим, что
AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cdot\cos30^{\circ}=4a^{2}+3a^{2}-2\cdot2a\cdot a\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=a^{2}.
Поскольку AB^{2}+OB^{2}=a^{2}+3a^{2}=4a^{2}=OA^{2}
, то треугольник AOB
прямоугольный, \angle ABO=90^{\circ}
. Поскольку CD\parallel AB
, то CD\perp BD
, поэтому точки C
, D
и C_{1}
лежат на одной прямой. Тогда ABDC_{1}
— прямоугольник, значит, AC_{1}=BD=2a\sqrt{3}
.
Поскольку \angle BAB_{1}=2\angle BAO=120^{\circ}
, то
\angle B_{1}AC_{1}=\angle BAB_{1}-\angle BAC_{1}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}.
Значит,
S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}\cdot AB_{1}\cdot AC_{1}\cdot\sin\angle B_{1}AC_{1}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC_{1}\cdot\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot2a\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AB_{1}C_{1}}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}}{2a^{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{4}.
Пусть теперь \angle BOC=30^{\circ}
(рис. 2). Тогда DB\perp BC
, точки C
, B
и C_{1}
лежат на одной прямой, DAC_{1}B
— прямоугольник, \angle C_{1}AC=\angle BOC=30^{\circ}
,
AC_{1}=DB=2a\sqrt{3},
AB_{1}=AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}-2\cdot OA\cdot OB\cdot\cos150^{\circ}}=
\sqrt{4a^{2}+3a^{2}+2\cdot2a\cdot a\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=a\sqrt{13}.
Пусть M
— середина BB_{1}
. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
\sin\angle BAM=\frac{BM}{AB}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.
Тогда
\cos\angle BAM=\sqrt{1-\frac{3}{52}}=\frac{7}{2\sqrt{13}}.
Поскольку
\angle B_{1}AC_{1}=\angle CAC_{1}+\angle MAB_{1}=\angle BOC+\angle MAB_{1}=30^{\circ}+\angle MAB_{1},
то
\sin\angle B_{1}AC_{1}=\sin(30^{\circ}+\angle MAB_{1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{2\sqrt{13}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{5}{2\sqrt{13}}.
Значит,
S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}\cdot AB_{1}\cdot AC_{1}\cdot\sin\angle B_{1}AC_{1}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BD\cdot\sin(30^{\circ}+\angle MAB_{1})=
=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{13}\cdot2a\sqrt{3}\cdot\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5a^{2}\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AB_{1}C_{1}}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{5a^{2}\sqrt{3}}{2}}{2a^{2}\sqrt{3}}=\frac{5}{4}.