3978. Окружность с центром в точке M
касается сторон угла AOB
в точках A
и B
. Вторая окружность с центром в точке N
касается отрезка OA
, луча BA
и продолжения стороны OB
угла за точку O
. Известно, что ON:OM=12:13
. Найдите отношение радиусов окружностей.
Ответ. \frac{65}{144}
.
Указание. Пусть окружность с центром N
касается отрезка OA
в точке P
. Обозначьте \angle ONP=\angle AOM=\alpha
, выразите отрезки AO
, OP
и AP
через тригонометрические функции угла \alpha
и отрезки ON=12x
и OM=13x
и используйте равенство AO=OP+AP
.
Решение. Положим ON=12x
, OM=13x
. Обозначим \angle AOM=\angle BOM=\alpha
. Пусть окружность с центром N
касается отрезка OA
в точке P
, луча BO
— в точке Q
, а луча BA
— в точке T
.
Поскольку ON\perp OM
как биссектрисы смежных углов AOB
и AOQ
, а NP\perp AO
как радиус окружности, проведённый в точку касания, то \angle ONP=\angle AOM=\alpha
.
Поскольку AN
— биссектриса угла OAT
, то
\angle NAP=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle OAB)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha))=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольных треугольников OAM
, OPN
и APN
находим, что
AO=OM\cos\angle AOM=13x\cos\alpha,~OP=ON\sin\angle ONP=12x\sin\alpha,
NP=ON\cos\angle ONP=12x\cos\alpha,~AP=\frac{NP}{\tg\angle NAP}=\frac{12x\cos\alpha}{\tg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}.
Поскольку AO=OP+AP
, получаем уравнение
13x\cos\alpha=12x\sin\alpha+\frac{12x\cos\alpha}{\tg\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}.
Обозначив \tg\frac{\alpha}{2}=t
и применив известные формулы тригонометрии, получим уравнение относительно t
:
\frac{13(1-t^{2})}{1+t^{2}}=\frac{24t}{1+t^{2}}+\frac{12(1-t^{2})}{1+t^{2}}\cdot\frac{1-t}{1+t},
откуда находим, что t=\frac{1}{5}
. Тогда \tg\alpha=\frac{2t}{1-t^{2}}=\frac{5}{12}
.
Пусть r
и R
— радиусы окружностей с центрами M
и N
соответственно. Тогда
\frac{r}{R}=\frac{OM\sin\alpha}{ON\cos\alpha}=\frac{13x}{12x}\cdot\tg\alpha=\frac{13}{12}\cdot\frac{5}{12}=\frac{65}{144}.