3982. Известно, что трапеция ABCD
— равнобедренная, BC\parallel AD
и BC\gt AD
. Трапеция ECDA
также равнобедренная, причём AE\parallel DC
и AE\gt DC
. Найдите BE
, если известно, что косинус суммы двух углов \angle CDE
и \angle BDA
равен \frac{1}{3}
, а DE=7
.
Ответ. \frac{14}{3}
.
Указание. Около равнобоких трапеций ABCD
и ECDA
описана одна и та же окружность.
Решение. Поскольку трапеция ABCD
равнобедренная, то около неё можно описать окружность, а так как AE\parallel CD
, то \angle AEC=\angle DAE=180^{\circ}-\angle ADC
. Значит, точка E
также лежит на этой окружности.
Диагонали равнобокой трапеции равны, поэтому BD=AC=DE=7
.
Обозначим \angle CDE=\alpha
, \angle BDA=\beta
. Тогда
\angle AED=\angle CDE=\alpha,~\angle AEB=\angle BDA=\beta,
поэтому
\angle BED=\angle AED+\angle AEB=\alpha+\beta.
По условию задачи
\cos(\angle CDE+\angle BDA)=\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{3}.
Из равнобедренного треугольника BDE
находим, что
BE=2DE\cos\angle BED=2\cdot7\cdot\cos(\alpha+\beta)=\frac{14}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 2004, вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 74