3986. В равнобедренной трапеции с основаниями 1 и 4 расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{15}{\sqrt{2}}
.
Указание. Отрезок общей касательной данных окружностей, проведённой через их точку касания, разбивает данную трапецию на две подобных. Поэтому квадрат длины этого отрезка равен произведению оснований данной трапеции.
Решение. Пусть общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания K
, пересекает боковые стороны AB
и CD
трапеции ABCD
в точках Q
и P
соответственно; окружность с центром O_{1}
радиуса r
, вписанная в равнобедренную трапецию QBCP
, касается её сторон BC=1
и CP
соответственно в точках M
и E
, а окружность с центром O_{2}
радиуса R
, вписанная в равнобедренную трапецию AQPD
, касается её сторон AD=4
и DP
соответственно в точках N
и F
. Тогда
CE=CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2},~DF=DN=\frac{1}{2}AD=2.
Трапеции QBCP
и AQPD
гомотетичны относительно точки пересечения прямых AB
и CD
с коэффициентом, равным отношению радиусов вписанных в них окружностей. Значит, эти трапеции подобны. Поэтому BC:QP=QP:AD
. Отсюда находим, что
QP=\sqrt{BC\cdot AD}=\sqrt{1\cdot4}=2.
Поэтому
PK=\frac{1}{2}QP=1,~EP=PK=PF=1.
Поскольку CO_{1}
и PO_{1}
— биссектрисы углов BCP
и CPQ
, сумма которых равна 180^{\circ}
, то \angle CO_{1}P=90^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника CO_{1}P
находим, что
r=O_{1}E=\sqrt{CE\cdot EP}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Аналогично находим, что
R=O_{2}F=\sqrt{DF\cdot FP}=\sqrt{2\cdot1}=\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)MN=\frac{1}{2}(1+4)(2r+2R)=\frac{5}{2}\cdot3\sqrt{2}=\frac{15\sqrt{2}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 2004 (биологический ф-т, ф-т фундаментальной медицины, ф-т биоинженерии и биоинформатики), вариант 1, № 3
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 105