3996. В прямоугольном треугольнике ABC
отрезок BH
является высотой, опущенной на гипотенузу, а BL
— медианой в треугольнике BHC
. Найдите угол LBC
, если известно, что BL=4
и AH=\frac{9}{2\sqrt{7}}
.
Ответ. \arccos\frac{23}{4\sqrt{37}}
.
Указание. Обозначьте HL=CL=x
. Применив теорему Пифагора к треугольнику BHL
и теорему о квадрате высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, к треугольнику ABC
, составьте квадратное уравнение относительно x
. Далее воспользуйтесь теоремой косинусов.
Решение. Обозначим HL=x
. Тогда CH=2x
. Из прямоугольных треугольников BHL
и ABC
находим, что
BH^{2}=BL^{2}-HL^{2}=16-x^{2},~BH^{2}=CH\cdot AH=2x\cdot\frac{9}{2\sqrt{7}}.
Поэтому
16-x^{2}=2x\cdot\frac{9}{2\sqrt{7}}.
Из этого уравнения находим, что x=\sqrt{7}
.
Тогда
LC=x=\sqrt{7},~BC=\sqrt{BH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{16-x^{2}+4x^{2}}=\sqrt{16+3\cdot7}=\sqrt{37}.
По теореме косинусов из треугольника BCL
находим, что
\cos\angle LBC=\frac{BC^{2}+BL^{2}-LC^{2}}{2BC\cdot BL}=\frac{37+16-7}{2\cdot\sqrt{37}\cdot4}=\frac{46}{8\sqrt{7}}=\frac{23}{4\sqrt{37}}.
Источник: Вступительный экзамен на социологический факультет МГУ. — 2004 (апрель), вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 179