4003. В прямоугольный треугольник впишите прямоугольник с наименьшей диагональю, имеющий с треугольником общий прямой угол.
Решение. Пусть в прямоугольный треугольник ABC
вписан прямоугольник CKMN
с вершинами K
и N
на катетах BC
и AC
соответственно, и с вершиной M
на гипотенузе AB
. Его диагональ CM
(равная диагонали NK
), не больше высоты CH
треугольника ABC
, проведённой из вершины прямого угла, причём равна этой высоте, если вершина M
прямоугольника совпадает с точкой H
.
Отсюда вытекает следующее построение. Проводим из вершины C
прямого угла прямоугольного треугольника ABC
высоту CH
на гипотенузу. Через точку H
проводим прямые, параллельные катетам. Точки пересечения этих прямых с катетами, точка C
и точка M
— вершины искомого прямоугольника.
Действительно, диагональ CH
построенного прямоугольника меньше диагонали CM
любого другого прямоугольника, вписанного в треугольник ABC
указанным в условии образом (катет CH
прямоугольного треугольника CHM
меньше гипотенузы CM
).