4004. Пусть c
— наибольшая сторона треугольника со сторонами a
, b
, c
. Докажите, что если a^{2}+b^{2}\gt c^{2}
, то треугольник остроугольный, а если a^{2}+b^{2}\lt c^{2}
, — тупоугольный.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Если \gamma
— угол, противолежащий стороне c
. По теореме косинусов
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma.
Отсюда находим, что
\cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}.
Если a^{2}+b^{2}\gt c^{2}
, то \cos\gamma\gt0
и наибольший угол треугольника — острый. Поэтому треугольник — остроугольный.
Если же a^{2}+b^{2}\lt c^{2}
, то \cos\gamma\lt0
, поэтому угол \gamma
— тупой. Следовательно, треугольник — тупоугольный.