4006. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC
на продолжении гипотенузы AB
за точку B
отложен отрезок BD
, равный BC
, и точка D
соединена с C
. Найдите стороны треугольника ADC
, если катет BC=a
.
Ответ. a
, a\sqrt{2+\sqrt{2}}
, a(\sqrt{2}+1)
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
AB=\frac{BC}{\cos45^{\circ}}=a\sqrt{2},~AD=AB+BD=a\sqrt{2}+a=a(\sqrt{2}+1).
По теореме косинусов из треугольника CBD
находим, что
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos\angle CBD=
=a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos(180^{\circ}-45^{\circ})=2a^{2}+a^{2}\sqrt{2}=a^{2}(2+\sqrt{2}).
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 92, с. 63