4008. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
на продолжении гипотенузы AB
отложен отрезок BD
, равный катету BC
, и точка D
соединена с C
. Найдите CD
, если BC=7
и AC=24
.
Ответ. \frac{56}{5}
.
Указание. Найдите \cos\angle ABC
из прямоугольного треугольника ABC
.
Решение. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
\cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{25}.
По теореме косинусов
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos\angle DBC=7^{2}+7^{2}-2\cdot49\cdot\cos(180^{\circ}-\angle ABC)=
=98+98\cos\angle ABC=98\left(1+\frac{7}{25}\right)=98\cdot\frac{32}{25}=\left(\frac{56}{5}\right)^{2}.