4015. Точка E
— середина отрезка, соединяющего точку пересечения высот неравнобедренного остроугольного треугольника ABC
с его вершиной A
. Окружность, вписанная в этот треугольник, касается сторон AB
и AC
в точках C'
и B'
соответственно. Докажите, что точка F
, симметричная точке E
относительно прямой B'C'
, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
.
Решение. Будем считать, что AB\gt AC
. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, H
— точка их пересечения, I
и O
— центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
, r
— радиус вписанной окружности. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Пусть L
— точка, симметричная точке I
относительно прямой B'C'
. Воспользуемся известным фактом: треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом k=\cos\alpha
. Докажем, что при этом подобии точка L
соответствует точке I
. Для этого достаточно установить, что \frac{AL}{AI}=k
.
Поскольку AB'=AC'
и IC'=IB'
, прямая AI
— серединный перпендикуляр к отрезку B'C'
, значит, точка L
лежит на луче AI
. Пусть M
— середина отрезка B'C'
. Из прямоугольных треугольников AB'I
и MB'I
находим, что
AI=\frac{IB'}{\sin\angle IAB'}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}},~MI=IB'\sin\angle IB'M=r\sin\frac{\alpha}{2}.
Тогда
AL=AI-2MI=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}-2r\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r\left(1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{r\cos\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
Следовательно,
\frac{AL}{AI}=\frac{\frac{r\cos\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}}{\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}}=\cos\alpha=k.
Таким образом, доказано, что точка L
соответствует точке I
.
Из точек B'
и C'
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OH
, а так как E
— середина AH
, то E
— центр описанной окружности треугольника AB'C'
. Поэтому при рассматриваемом подобии точка E
соответствует точке O
, а угол ALE
— углу AIO
. Значит, \angle ALE=\angle AIO
.
Отрезок EL
симметричен отрезку FI
относительно прямой B'C'
, поэтому \angle LIF=\angle ILE
. Значит,
\angle OIF=\angle AIO+\angle AIF=\angle ALE+\angle ILE=180^{\circ}.
Следовательно, точка F
лежит на прямой OI
. Что и требовалось доказать.