4020. Докажите справедливость следующих формул для площади треугольника:
S=\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha},
S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,
где \alpha
, \beta
, \gamma
— углы треугольника, a
— сторона, лежащая против угла \alpha
, R
— радиус описанной окружности.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть b
— сторона треугольника, лежащая против угла \beta
. Тогда
\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}.
Отсюда находим, что
b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}.
В правую часть формулы S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
подставим a=2R\sin\alpha
и b=2R\sin\beta
. Получим, что
S=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\cdot\sin\gamma=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.