4020. Докажите справедливость следующих формул для площади треугольника:
S=\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha},
S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,
где \alpha
, \beta
, \gamma
— углы треугольника, a
— сторона, лежащая против угла \alpha
, R
— радиус описанной окружности.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть b
— сторона треугольника, лежащая против угла \beta
. Тогда
\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}.
Отсюда находим, что
b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}.
В правую часть формулы S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
подставим a=2R\sin\alpha
и b=2R\sin\beta
. Получим, что
S=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\cdot\sin\gamma=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 15, с. 8
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 15, с. 6
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.12, с. 33