4021. Докажите, что если a
и b
— две стороны треугольника, \gamma
— угол между ними и l
— биссектриса этого угла, то
l=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}.
Указание. Сложите площади треугольников, на которые биссектриса разбивает данный треугольник.
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника, S_{1}
и S_{2}
— площади треугольников, на которые указанная биссектриса разбивает данный треугольник. Тогда S=S_{1}+S_{2}
, или
\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}al\sin\frac{\gamma}{2}+\frac{1}{2}bl\sin\frac{\gamma}{2},~\mbox{или}
ab\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}(a+b)l\sin\frac{\gamma}{2}.
Поскольку \sin\frac{\gamma}{2}\ne0
, то l=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
.
Примечание. Пусть l_{c}=CQ
— биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
(AC\ne BC
, Q
— точка на прямой AB
). Тогда
l_{c}=\frac{2ab\sin\frac{\gamma}{2}}{|a-b|}.
Действительно, если a\gt b
, а CL
— биссектриса треугольника ABC
, то \angle LCQ=90^{\circ}
, поэтому
\angle BCQ=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2},~\angle ACQ=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.
Значит,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCQ}-S_{\triangle ACQ},
или
\frac{1}{2}ab\sin\alpha=\frac{1}{2}l_{c}a\sin\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right)-\frac{1}{2}l_{c}b\sin\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right),
ab\sin\alpha=l_{c}a\sin\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right)-l_{c}b\sin\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right),
2ab\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=l_{c}a\cos\frac{\gamma}{2}-l_{c}b\cos\frac{\gamma}{2},
откуда
l_{c}=\frac{2ab\sin\frac{\gamma}{2}}{a-b}.
Если a\lt b
, то аналогично получим, что
l_{c}=\frac{2ab\sin\frac{\gamma}{2}}{b-a}.