4022. В треугольнике ABC
известно, что AB=8
, AC=6
, \angle BAC=60^{\circ}
. Найдите биссектрису AM
.
Ответ. \frac{24\sqrt{3}}{7}
.
Указание. Сложите площади треугольников, на которые биссектриса делит данный треугольник.
Решение. Поскольку S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle ACM}
, то
\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AB\cdot AM\sin\angle BAM+\frac{1}{2}AM\cdot AC\sin\angle CAM,
или
\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot AM\sin30^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot6\cdot AM\sin30^{\circ},
или 12\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot7AM
. Следовательно, AM=\frac{24\sqrt{3}}{7}
.
