4023. Докажите, что если a
и b
— две неравные стороны треугольника, \gamma
— угол между ними и l_{c}
— биссектриса внешнего угла при вершине этого угла (т. е. отрезок с концами в вершине треугольника и в основании биссектрисы внешнего угла при этой вершине), то
l_{c}=\frac{2ab\sin\frac{\gamma}{2}}{|a-b|}.
Решение. Предположим, что a\lt b
. Угол между биссектрисой l_{c}
и стороной a
равен \frac{1}{2}(180^{\circ}-\gamma)=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
, а угол между биссектрисой l_{c}
и стороной b
равен 90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}
.
Пусть S
— площадь данного треугольника, S_{a}
— площадь треугольника со сторонами a
, l_{c}
и углом 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
между ними, S_{b}
— площадь треугольника со сторонами b
, l_{c}
и углом 90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}
между ними. Тогда S=S_{b}-S_{a}
, или
\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}bl_{c}\sin\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right)-\frac{1}{2}al_{c}\sin\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right),~\mbox{или}
2ab\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=(b-a)l_{c}\cos\frac{\gamma}{2},
а так как \cos\frac{\gamma}{2}\ne0
, то l_{c}=\frac{2ab\sin\frac{\gamma}{2}}{b-a}
.
Если a\gt b
, то аналогично получим, что l_{c}=\frac{2ab\sin\frac{\gamma}{2}}{a-b}
.