4024. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри данного равностороннего треугольника до его сторон всегда одна и та же.
Указание. Соедините точку внутри треугольника с его вершинами и сложите площади полученных треугольников.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка внутри равностороннего треугольника ABC
со сторонами AB=AC=BC=a
. Обозначим через h
высоту треугольника ABC
, через h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
— высоты треугольников MBC
, MAC
и MAB
, опущенные из вершины M
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle MCB}+S_{\triangle MAB}+S_{\triangle MAC}=
=\frac{1}{2}ah_{1}+\frac{1}{2}ah_{2}+\frac{1}{2}ah_{3}=
=\frac{1}{2}a(h_{1}+h_{2}+h_{3})=\frac{1}{2}ah.
Следовательно, h_{1}+h_{2}+h_{3}=h
, для любой точки, расположенной внутри треугольника ABC
.
Второй способ. Проведём через точку внутри данного треугольника прямые, параллельные сторонам треугольника. Получим шесть фигур, три из которых — равносторонние треугольники. Сумма их высот равна высоте данного треугольника.
Примечание. Аналогично можно доказать (см. первый способ), что сумма расстояний от любой точки внутри правильного n
-угольника до прямых, содержащих его стороны, всегда одна и та же.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 42, с. 65, № 298, с. 233
Источник: Задачи по математике и физике, дававшиеся на приёмных испытаниях в 1947—1953 гг. — М.: МФТИ, 1956. — № 55, с. 39
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1951, билет 9, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 51-9-4, с. 31
Источник: Польские математические олимпиады. — 1958, задача 4
Источник: Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. — М.: Мир, 1978. — № 59, с. 19
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 27, с. 97
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 139
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 40(а), с. 11
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 36, с. 8
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.47, с. 87