4024. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри данного равностороннего треугольника до его сторон всегда одна и та же.
Указание. Соедините точку внутри треугольника с его вершинами и сложите площади полученных треугольников.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка внутри равностороннего треугольника ABC
со сторонами AB=AC=BC=a
. Обозначим через h
высоту треугольника ABC
, через h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
— высоты треугольников MBC
, MAC
и MAB
, опущенные из вершины M
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle MCB}+S_{\triangle MAB}+S_{\triangle MAC}=
=\frac{1}{2}ah_{1}+\frac{1}{2}ah_{2}+\frac{1}{2}ah_{3}=
=\frac{1}{2}a(h_{1}+h_{2}+h_{3})=\frac{1}{2}ah.
Следовательно, h_{1}+h_{2}+h_{3}=h
, для любой точки, расположенной внутри треугольника ABC
.
Второй способ. Проведём через точку внутри данного треугольника прямые, параллельные сторонам треугольника. Получим шесть фигур, три из которых — равносторонние треугольники. Сумма их высот равна высоте данного треугольника.
Примечание. Аналогично можно доказать (см. первый способ), что сумма расстояний от любой точки внутри правильного n
-угольника до прямых, содержащих его стороны, всегда одна и та же.