4025. В окружность радиуса 7 вписан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Стороны AB
и BC
равны. Площадь треугольника ABD
относится к площади треугольника BCD
, как 2:1
. Угол ADC
равен 120^{\circ}
. Найдите все стороны четырёхугольника ABCD
.
Ответ. AB=BC=7\sqrt{3}
, CD=\sqrt{21}
, AD=2\sqrt{21}
.
Указание. Докажите, что AD=2CD
.
Решение. Если R
— радиус окружности (R=7
), то
AC=2R\sin\angle ADC=2\cdot7\cdot\sin120^{\circ}=7\sqrt{3}.
Поскольку \angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=60^{\circ}
, то
AB=BC=AC=7\sqrt{3},
а так как \angle ADB=\angle CDB=60^{\circ}
, то
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{AD}{DC}=2.
Пусть DC=x
. Тогда AD=2x
, и по теореме косинусов
AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2CD\cdot AD\cos\angle ADC,
или
(7\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+x^{2}+2\cdot2x\cdot x\cdot\frac{1}{2}.
Отсюда находим, что x^{2}=21
. Следовательно,
CD=x=\sqrt{21},~AD=2x=2\sqrt{21}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1983, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 119