4032. Внутри угла в 60^{\circ}
расположена точка, отстоящая на расстояния \sqrt{7}
и 2\sqrt{7}
от сторон угла. Найдите расстояние этой точки от вершины угла.
Ответ. \frac{14\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Данная точка, её проекции на стороны данного угла и вершина данного угла лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Пусть A
и B
— проекции данной точки M
на стороны данного угла с вершиной C
; MA=\sqrt{7}
, MB=2\sqrt{7}
. Тогда
\angle AMB=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
По теореме косинусов из треугольника AMB
находим, что
AB=\sqrt{AM^{2}+BM^{2}-2AM\cdot BM\cos120^{\circ}}=\sqrt{7+28+14}=7.
Точки A
, M
, B
и C
лежат на окружности с диаметром CM
. Поэтому AB=CM\sin\angle ACB
. Отсюда находим, что
CM=\frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{14}{\sqrt{3}}.
Второй способ. Пусть A
и B
— проекции данной точки M
на стороны данного угла с вершиной C
; MA=\sqrt{7}
, MB=2\sqrt{7}
. Тогда
Продолжим отрезок BM
до пересечения с прямой AC
в точке D
. Тогда
\angle BDC=30^{\circ}~\Rightarrow~MD=2AM=2\sqrt{7}~\Rightarrow
\Rightarrow~BD=BM+MD=2\sqrt{7}+2\sqrt{7}=4\sqrt{7}~\Rightarrow
\Rightarrow~BC=\frac{BD}{\sqrt{3}}=4\sqrt{\frac{7}{3}}~\Rightarrow~CM=\sqrt{BC^{2}+BM^{2}}=\sqrt{16\cdot\frac{7}{3}+4\cdot7}=\frac{14}{\sqrt{3}}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.243, с. 175