4033. Точка M
лежит внутри равностороннего треугольника ABC
. Вычислите площадь этого треугольника, если известно, что AM=BM=2
, а CM=1
.
Ответ. \frac{9\sqrt{3}+3\sqrt{15}}{8}
.
Указание. Примените теорему косинусов к треугольнику BCM
.
Решение. Поскольку AM=CM
, то точка M
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
. Поэтому CM
— биссектриса угла BCA
. Обозначим AB=BC=AC=x
. По теореме косинусов из треугольника BCM
находим, что
4=x^{2}+1-2x\frac{\sqrt{3}}{2},~\mbox{или}~x^{2}-x\sqrt{3}-3=0.
Отсюда находим, что
x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}x^{2}\sin60^{\circ}=\frac{9\sqrt{3}+3\sqrt{15}}{8}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.354, с. 182