4034. В треугольнике ABC
дано: \angle ACB=60^{\circ}
, \angle ABC=45^{\circ}
. На продолжении AC
за вершину C
берётся точка K
, причём AC=CK
. На продолжении BC
за вершину C
берётся точка M
, причём треугольник с вершинами C
, M
и K
подобен исходному. Найдите BC:MK
, если известно, что CM:MK\lt1
.
Ответ. \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}
.
Указание. Докажите, что \angle KCM=75^{\circ}
.
Решение. Поскольку CM\lt MK
и углы треугольника CMK
равны 60^{\circ}
, 45^{\circ}
и 75^{\circ}
, то CM
— наименьшая его сторона. Поэтому
\angle MKC=45^{\circ},~\angle KMC=75^{\circ}.
По теореме синусов из треугольников ABC
и MKC
находим, что
AC=\frac{BC\sin45^{\circ}}{\sin75^{\circ}},~MK=\frac{KC\sin60^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=\frac{AC\sin60^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=\frac{BC\sin45^{\circ}\sin60^{\circ}}{\sin^{2}75^{\circ}}.
Следовательно,
\frac{BC}{MK}=\frac{\sin^{2}75^{\circ}}{\sin45^{\circ}\sin60^{\circ}}=\frac{1-\cos150^{\circ}}{2\sin45^{\circ}\sin60^{\circ}}=\frac{2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1969, № 3, вариант 2