4037. Около трапеции описана окружность. Основание составляет с боковой стороной угол \alpha
, а с диагональю — угол \beta
. Найдите отношение площади круга к площади трапеции.
Ответ. \frac{\pi}{2\sin^{2}\alpha\sin2\beta}
.
Указание. Воспользуйтесь формулой a=2R\sin\alpha
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, описанной около трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
и диагоналями AC
и BD
, \angle ADC=\alpha
, \angle CAD=\beta
. Тогда
\angle BCA=\angle CAD=\beta,~\angle BAC=\alpha-\beta,~\angle ACD=180^{\circ}-(\alpha+\beta),
AC=2R\sin\alpha,~DC=2R\sin\beta,~BC=2R\sin(\alpha-\beta);
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot CD\sin\angle ACD=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\sin(\alpha+\beta)=
=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta);
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot\sin\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin(\alpha-\beta)\sin\beta=
=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha-\beta).
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABC}=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))=
=4R^{2}\sin^{2}\alpha\sin\beta\cos\beta=2R^{2}\sin^{2}\alpha\sin2\beta.