4038. Периметр параллелограмма ABCD
равен 26. Угол ABC
равен 120^{\circ}
. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD
, равен \sqrt{3}
. Найдите стороны параллелограмма, если известно, что сторона AD
больше стороны AB
.
Ответ. 8 и 5.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Заметим, что
\angle C=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Пусть K
, P
и M
— точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно CD
, BC
и BD
треугольника DBC
, O
— центр этой окружности. Обозначим DK=DM=x
, BP=BM=y
.
Поскольку
CK=OK\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3,
то
CD=x+3,~BC=y+3,~BD=x+y.
Из условия задачи следует, что CD+BC=13
. По теореме косинусов из треугольника BCD
находим, что
BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-BC\cdot CD.
Таким образом, имеем систему уравнений
\syst{x+y=7\\(x+y)^{2}=(x+3)^{2}+(y+3)^{2}-(x+3)(y+3).\\}
Условию задачи удовлетворяет её решение x=2
, y=5
. Следовательно, AB=CD=5
, AD=BC=8
.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1980, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 53