4039. Площадь треугольника ABC
равна 15\sqrt{3}
. Угол BAC
равен 120^{\circ}
. Угол ABC
больше угла ACB
. Расстояние от вершины A
до центра окружности, вписанной в треугольник ABC
, равно 2. Найдите медиану треугольника ABC
, проведённую из вершины B
.
Ответ. \sqrt{91}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Пусть O
— центр окружности; K
, M
, N
— точки касания со сторонами AC
, BC
, AB
соответственно. Тогда
OK=r=AO\sin60^{\circ}=\sqrt{3},~AK=AO\cos60^{\circ}=1.
Если p
— полупериметр треугольника ABC
, то S_{\triangle ABC}=pr
. Отсюда находим, что p=15
.
Обозначим BM=BN=x
, CM=CK=y
. Тогда
\syst{x+y+1=15\\(x+y)^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+(x+1)(y+1).\\}
Из этой системы находим, что x=9
, y=5
или x=5
, y=9.
Поскольку AC\gt AB
, то условию задачи удовлетворяет только второе решение этой системы: x=5,y=9.
Тогда AB=6
, AC=10
.
Если P
— середина AC
, то по теореме косинусов
BP^{2}=AB^{2}+AP^{2}-2AB\cdot AP\cos120^{\circ}=36+25+2\cdot6\cdot5\cdot\frac{1}{2}=91.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1980, вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 54