4041. В треугольнике ABC
сторона AB
равна \frac{5\sqrt{2}}{2}
, сторона BC
равна \frac{5\sqrt{5}}{4}
. Точка M
лежит на стороне AB
, точка O
лежит на стороне BC
, причём прямые MO
и AC
параллельны. Отрезок BM
в 1,5 раза длиннее отрезка AM
. Биссектриса угла BAC
пересекает прямую MO
в точке P
, лежащей между точками M
и O
, причём радиус окружности, описанной около треугольника AMP
, равен \sqrt{2+\sqrt{2}}
. Найдите сторону AC
.
Ответ. \frac{15}{4}
.
Указание. Найдите \cos\angle BAC
и примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, R
— радиус окружности, описанной около треугольника AMP
(R=\sqrt{2+\sqrt{2}}
). Тогда
AM=2\cdot\frac{1}{5}AB=\sqrt{2},~\angle MPA=\angle PAC=\angle BAP=\frac{\alpha}{2}.
Поэтому
MP=AM=\sqrt{2},~MP=2R\sin\frac{\alpha}{2}.
Отсюда находим, что
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{MP}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
Тогда
1-\cos\alpha=2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)^{2}=\frac{1}{2+\sqrt{2}},
\cos\alpha=1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-\frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Поэтому \alpha=45^{\circ}
.
По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha.
Обозначим AC=x
. Получим квадратное уравнение
\frac{125}{16}=\frac{25}{2}+x^{2}-2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}},
или
x^{2}-5x+\frac{75}{16}=0.
Его корни: x=\frac{5}{4}
или x=\frac{15}{4}
. По условию задачи
MP\lt OM=\frac{3}{5}AC.
Поэтому подходит только второй корень.