4046. Две стороны треугольника равны 2\sqrt{2}
и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.
Ответ. \sqrt{29}
, \sqrt{5}
.
Указание. Найдите синус угла между данными сторонами.
Решение. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, т. е. 3=\frac{1}{2}\cdot3\cdot2\sqrt{2}\cdot\sin\alpha
. Отсюда находим, что \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}
. Тогда |\cos\alpha|=\frac{1}{\sqrt{2}}
.
Возможны два случая: \alpha=45^{\circ}
или \alpha=135^{\circ}
. В каждом из них найдём третью сторону по теореме косинусов:
a^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+3^{2}\pm2\cdot2\sqrt{2}\cdot3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=8+9\pm12=17\pm12.
Следовательно, a=\sqrt{29}
или a=\sqrt{5}
.
Источник: Вступительный экзамен в МИИТ. — 1979