4048. В треугольнике известны сторона a
и два прилежащих к ней угла \beta
и \gamma
. Найдите биссектрису, проведённую из вершины третьего угла.
Ответ. \frac{a\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\gamma+\beta)\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть AM
— биссектриса треугольника ABC
, CB=a
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Тогда
\frac{AB}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)}=\frac{a}{\sin(\beta+\gamma)}~\Rightarrow~AB=\frac{a\sin\gamma}{\sin(\beta+\gamma)},
В треугольнике AMB
:
\angle AMB=\gamma+\angle\frac{1}{2}A=\gamma+90^{\circ}-\frac{\gamma+\beta}{2}=90^{\circ}+\frac{\gamma-\beta}{2},
\frac{AM}{\sin\beta}=\frac{AB}{\sin\angle AMB}=\frac{\frac{a\sin\gamma}{\sin(\beta+\gamma)}}{\cos\frac{\gamma-\beta}{2}}.
Отсюда находим, что
AM=\frac{a\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\gamma+\beta)\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}.