4049. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
выбраны на сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
соответственно. Оказалось, что AB_{1}-AC_{1}=CA_{1}-CB_{1}=BC_{1}-BA_{1}
. Пусть O_{A}
, O_{B}
и O_{C}
— центры окружностей, описанных около треугольников AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C
соответственно. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник O_{A}O_{B}O_{C}
, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC
Решение. Пусть вписанная в треугольник ABC
окружность касается его сторон BC
, AC
и AB
в точках A_{0}
, B_{0}
и C_{0}
соответственно. Предположим, что точка A_{1}
лежит между A_{0}
и B
.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому CA_{0}=CB_{0}
и AC_{0}=AB_{0}
. Значит,
CA_{0}+AC_{0}=CB_{0}+AB_{0}=AC.
С другой стороны, по условию задачи AB_{1}-AC_{1}=CA_{1}-CB_{1}
, поэтому
AC=AB_{1}+CB_{1}=CA_{1}+AC_{1}.
Значит, CA_{0}+AC_{0}=CA_{1}+AC_{1}
. Следовательно,
A_{0}A_{1}=CA_{1}-CA_{0}=AC_{0}-AC_{1}=C_{0}C_{1}.
Прямоугольные треугольники IA_{0}A_{1}
и IC_{0}C_{1}
равны по двум катетам, поэтому
\angle IA_{1}C=\angle IC_{1}B,~IA_{1}=IC_{1}.
Поскольку
\angle BC_{1}I+\angle BA_{1}I=\angle BC_{1}I+(180^{\circ}-\angle A_{0}A_{1}I)=\angle BC_{1}I+(180^{\circ}-\angle BC_{1}I)=180^{\circ},
четырёхугольник BA_{1}IC_{1}
— вписанный. Аналогично четырёхугольники AB_{1}IC_{1}
и CA_{1}IB_{1}
— также вписанные, и IA_{1}=IB_{1}=IC_{1}
.
Линии центров O_{B}O_{C}
, O_{C}O_{A}
, O_{A}O_{B}
являются серединными перпендикулярами к общим хордам IA_{1}
, IB_{1}
, IC_{1}
соответственно; длины этих хорд равны. Значит, расстояния от точки I
до сторон треугольника O_{A}O_{B}O_{C}
равны \frac{1}{2}IA_{1}=\frac{1}{2}IB_{1}=\frac{1}{2}IC_{1}
.
Поскольку углы IBA_{1}
, IAC_{1}
и ICB_{1}
острые, отрезки O_{B}O_{C}
, O_{C}O_{A}
и O_{A}O_{B}
пересекают лучи IA_{1}
, IB_{1}
и IC_{1}
соответственно. Значит, точка I
, равноудалённая от сторон треугольника O_{A}O_{B}O_{C}
, лежит внутри этого треугольника. Следовательно, I
— центр вписанной окружности треугольника O_{A}O_{B}O_{C}
. Что и требовалось доказать.