4050. Основание равнобедренного треугольника равно a
, угол при вершине равен \alpha
. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне.
Ответ. \frac{a\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\left(45^{\circ}+\frac{3\alpha}{4}\right)}
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть CD
— биссектриса равнобедренного треугольника ABC
(AB=AC
), \angle BAC=\alpha
, BC=a
. В треугольнике CBD
известно, что
\angle DBC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle DCB=\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=45^{\circ}-\frac{\alpha}{4},
\angle BDC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)=45^{\circ}+\frac{3\alpha}{4},~BC=a.
По теореме синусов
\frac{CD}{\sin\angle DBC}=\frac{BC}{\sin\angle BDC}.
Отсюда находим, что
CD=\frac{BC\sin\angle DBC}{\sin\angle BDC}=\frac{a\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\left(45^{\circ}+\frac{3\alpha}{4}\right)}.